§ 2. Операции над событиями. Алгебры и

s - алгебры событий

            Пространство элементарных исходов может иметь довольно сложную структуру.

Пример 2.1. Рассмотрим случайный эксперимент, состоящий в том, что два игрока поочередно подбрасывают симметричную монету до тех пор пока не выпадет герб.

            Что следует назвать элементарным исходом такого эксперимента? Пусть литера Г означает появление герба, литера Р - появление решки. Тогда элементарный исход нашего воображаемого эксперимента можно изобразить в виде бесконечной последовательности литер Г и Р, например,

w = ( Р Р ... Р Г ).

            Если сопоставить литере Р цифру 0, а литере Г цифру 1, то каждому элементарному исходу w ставится во взамно-однозначное соответствие число, заданное своим двоичным разложением

w « 0,00...01.

            Поскольку каждое вещественное число из отрезка [0,1] можно представить в виде его двоичной записи, то пространство элементарных исходов можно отождествить с отрезком [0,1] : W = [0,1] .

            Далее, так как игроки продолжают подбрасывание до тех пор, пока не выпадет герб. Обозначим А событие “ выиграл первый игрок (бросавший первым)” .

            Событию А следует сопоставить подмножество чисел из отрезка [0,1] таких, что цифра 1 появиться в них впервые на нечетном после запятой месте:

                                               А ={0,1 ...; 0,001 ... ; 0,00001 ...; ... }.

            Как назначить разумным образом вероятности элементарных исходов в рассматриваемом эксперименте?

            Поскольку, если первый игрок выигрывает при бросании с номером 2k+1, дальнейшее продолжение игры теряет смысл, то разумно принять следующие вероятности

Р(первый игрок выигрывает при бросании с номером 2к+1) =

(всего имеется 22k+1 возможных исходов, один из них благоприятен).

            Теперь, согласно определению 1.1

.

            Обозначим В событие “выиграл второй игрок”.

            Подобно вышеизложенному, событию В ставим в соответствие подмножество из отрезка [0,1] , состоящее из чисел, в которых 1 появится впервые на четном месте:

                                                В ={0,01 ...; 0,0001 ... ; 0,000001 ...; ... }.

            Аналогичные соображения приводят к равенству

Р(второй игрок выигрывает при бросании с номером 2к) = ,

и к равенству

 

. u

 

            Мы уже условились отождествлять со случайным событием некоторое подмножество пространства элементарных исходов W.¨

Определение 2.1. Достоверным событием называют событие, происходящее при всяком осуществлении случайного эксперимента.

Невозможным событием называют событие, которое в условиях эксперимента не происходит никогда.

 

            Достоверному событию благоприятствует любой элементарный исход, поэтому его обозначают той же литерой, что и пространство элементарных исходов, W. Невозможному событию не благоприятствует ни один элементарный исход, его обозначают символом пустого множества, Æ.

 

Определение 2.2. Событие А влечет за собой событие В, если событие В происходит всякий раз, когда происходит А . Обозначение: А Ì В.

 

            По определению, Æ Ì А. для любого события А.

            События А и В эквивалентны (равны), если одновременно верны два соотношения А Ì В и В Ì А. В этом случае пишут А = В.

            Очевидно, А Ì W , каково бы ни было А.

 

Определение 2.3. Пусть имеем события А и В. Их суммой (объединением) называют событие С , происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий, при этом пишут С = А È В.

            Верны равенства А È W = W , А È Æ = А, каково бы ни было А.

Определение 2.4. Пусть имеем события А и В. Их произведением (пересечением) называют событие С , происходящее тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба данных события, при этом пишут

С = А Ç В.

          

Верно всегда А Ç W = A , А Ç Æ = Æ для любого события А.

 
 
            Введенные выше понятия принято иллюстрировать с помощью так называемых диаграмм Венна, изображая пространство элементарных исходов W внутренностью квадрата, а события - его подмножествами.

           

Рис. 2.1

Рис. 2.2

 

Рис.2.3

 

            На рисунках 2.1 - 2.3 изображены диаграммы Венна, соответствующие понятиям А Ì В, А È В, А Ç В соответственно.

Определение 2.5. События А и В называются несовместными, если

А Ç В = Æ (одновременное их осуществление невозможно).

            Соответствующая диаграмма Венна имеет вид:

Рис. 2.4

Определение 2.6. Событие называются противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит.

            На диаграмме изображается внешностью подмножества А:

                                                                       Рис. 2.5

            Очевидно, что два события являются противоположными, если

o      . А Ç В = Æ, т.е. А и В - несовместимы;

o      . А È В = W, т.е. их сумма есть достоверное событие.

                        Тогда  = В.

Определение 2.6. Разностью событий А и В (в указанном порядке) называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А и , при этом пишут С = А\ В = А Ç .

            Аналогично определяют В \ А. Диаграмма Венна имеет вид:

Рис. 2.6

            Полезны следующие равенства:

(формулы двойственности).

            Докажем, например, последнее из них.

            Пусть произошло событие . Это значит, что не произошло событие

A Ç B, то есть, произошло либо событие А, а событие В не произошло, либо произошло событие В, а событие А нет. В любом случае произошло либо , либо , то есть произошло событие .

            Итак, .

            Пусть теперь произошло событие , то есть произошло хотя бы одно из событий либо , то есть либо А, либо В (либо оба) не произошло, а следовательно, не произошло событие BÇA, но тогда произошло .

            Итак, всегда .

            В силу определения 2.2 получаем .

 

Пример 2.2. Игральная кость подбрасывается один раз. Обозначим wi элементарный исход, означающий появление грани, на которой i - очков (i = 1,2,3,4,5,6).

                                               Тогда W = { w1, w2 , w3, w4, w5, w6 }.

            Пусть событие А - “на верхней грани четное число очков”.

            Событие В - “ на верхней грани число очков, кратное трем”.

Тогда А = { w2, w4 , w6 }, В = { w3, w6 }.

            Рассмотрим события:

а) С = А ÈВ = { w2 , w3, w4, w6 } - на верхней грани число очков не менее двух, но не пять;

б) D = А Ç В = { w6 } - состоит в том, что выпала грань с числом очков шесть;

в) Е = А \ В = { w2, w4 } - на верхней грани четное число очков, но не шесть;

г) Н = В \ А = { w3 } - на верхней грани три очка ;

д) F = = { w1, w3, w5 } - выпала нечетное число очков;

е) G = = { w1, w2, w4 , w5 } - число очков на верхней грани не делится на три;

ж) = = { w1, w5 } - число очков на верхней грани нечетно и не равно трём. u

            Понятие суммы и произведения переносятся на бесконечные наборы событий.

С = А1 È А2È А3È ... È АnÈ ...=

            происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А1 , А2, ... .

            Событие

D = А1 Ç А2 Ç А3 Ç ... Ç Аn Ç ...=

            происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно все события А1 , А2, ... .

 

            Оказывается, что для корректного определения вероятности как функции от события следует накладывать некоторые условия на область определения.

            Пусть W - пространство элементарных событий, а Á - некоторый класс случайных событий (подмножеств W ).

            Определение А1. Класс Á называют алгеброй событий, если:

                                               1) W Î Á ;

                                               2) А Î Á Þ Î Á ;

                                               3) А ,В Î Á Þ А ÈВ Î Á .

            Из определения А1 заключаем, что в любой алгебре Æ Î Á ; из того, что А и В Î Á следует, что А Ç В , А \ В , В \ А Î Á .

            Пример 2.3. Построим Á - алгебру событий в примере 2.2.

            В неё входит невозможное событие Æ и достоверное событие W, все элементарные события { w1 }, {w2 },{ w3},{w4 },{ w5},{w6},

все события вида { w1 , w2 }, ..., { w2 , w3}, ... , все события вида { w1 , w2 , w3},

{ w3,w4 , w5}, ... , все события вида { w3,w4 , w5, w6 },..., и так далее - всего 26 = =64 события. u

Определение А2. Алгебра событий Á называется s - алгеброй (сигма - алгеброй), если вместо аксиомы 3) имеет место аксиома

                                               3/ ) Аn Î Á , (n = 1,2,3, ... ) Þ Î Á .

            Из формул двойственности следует, что в сигма алгебре для каждой последовательности событий Аn Î Á , (n = 1,2,3, ... ) их пересечение

            Î Á

Определение Р . Пусть имеем пространство элементарных исходов W и s - алгебру событий Á . Функция Р(о ) с областью определения Á называется вероятностью, если она удовлетворяет условиям:

                                                Р1. Р(А) ³ 0, для любого события А из Á ;

                                               Р2. Р( W) = 1;

                                               Р3. ,

                                               если А1 , А2, ..., Аn , ... Î Á , Аi Ç Вj =Æ ().

            Доказывается, что любой убывающей последовательности событий из Á

А1 É А2 É А3 É ... É Аn É ... и такой, что = Æ

имеет место равенство P( Аn ) = 0 (непрерывность вероятности).

 

Тройка объектов {W, Á , Р} называется вероятностным пространством.

4 В оглавление             ÷ Назад               Дальше ø